ما هو المدى والوسيط والمنوال في الرياضيات .. بالأمثلة( تعليمي) 📚📕

ما هو المدى والوسيط والمنوال في الرياضيات .. بالأمثلة




قياس النزعة المركزية

مقياس النزعة المركزية هو أحد المفاهيم الإحصائية التي تم ظهورها في أواخر العشرينيات في القرن الماضي، وهي مجموعة من القيم المركزية أو النموذجية تختص في توزيع الاحتمالات، وفي بعض الأحيان يطلق عليها اسم المتوسطات أو مراكز التوزيع.
تنقسم تلك المقاييس إلى عدة أقسام منها المدى والوسيط والمتوسط والمنوال، واهم وأكثر قسم من مقاييس النزعة المركزية استخداما هو المتوسط، حيث من خلاله يتم حساب الميل الوسيط لمجموعة محددة من الأعداد النظرية.
من الجدير بالذكر أن مقاييس النزعة المركزية تستخدم للدلالة ميل الإعداد أو البيانات الكمية للتجمع حول بعض القيم المركزية. من الجدير بالذكر أن مقاييس النزعة المركزية تقوم بتلخيص العينات أو المجتمعات الإحصائية بقيمة واحدة فقط، بحيث تكون هذه القيمة منتصف توزيع كل البيانات.
فائدة مقاييس النزعة تظهر في الكثير من المجالات مثل العلوم المالية لحساب قيمة دخل الفرد في دولة أو مدينة ما، والبحث، والتعليم، والرياضيات، والاقتصاد، بالإضافة إلى فحص البيانات الفئوية.
المتوسط

يعتبر المتوسط من أهم مقاييس النزعة المركزية، حيث يتم استخدامه في عمليات الإحصاء، وحساب المعدل، بالإضافة إلى تحديد النقطة التي من خلالها تميل كل النقاط للتجمع فيها، وبمعنى آخر هي مجموعة الإعداد المعطاة في المسألة مقسوما على عددها، والتعبير الرياضي للمتوسط هو: المتوسط=مجموع الأعداد/عددها.
طريقة استخراج المتوسط: أولا نقوم بجمع كل الأعداد المعطاة في السؤال، ثم نقوم بتقسيم ناتج الجمع على إعدادها، وناتج هذه العملية الناتج هو متوسط الأعداد.
الأمثلة:
المثال الأول: جد المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد الآتية (6، 2، 7، 2، 9) الحل هو جمع القيم (9+2+2+7+6)=26 قسمة ناتج الجمع على عددها 26/5= 5. 2
المثال الثاني: جد المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد الآتية (8، 7، 9، 11، 9) جمع القيم(9+11+9+7+8)=44 قسمة ناتج الجمع على عددها 44/5=8. 8
المثال الثالث: جد المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد الآتية (110، 90، 80، 110، 50) جمع القيم ( 50+110+80+90+110)=440 قسمة ناتج الجمع على عددها يساوي 440/5=88
المنوال

المقصود بالمنوال هو القيمة المتكررة في مجموعة الأعداد المتوفرة في السؤال، في بعض الأحيان يكون هناك أكثر من قيمة متكررة، وفي هذه الحالة يكون هناك أكثر من منوال، إذا كان هناك منوالين يطلق عليه ” ثنائية المنوال “، وإذا كان أكثر من منوالين اثنين يطلق عليه اسم متعدد المنوال.
استخدام المنوال له فائدة كبيرة في حالة فحص البيانات الفئوية مثل نماذج العربات، أو نكهات العلكة. يوجد بعض الحالات التي يكون فيها المنوال نفس ناتج المتوسط أو الوسيط. من الجدير بالذكر أن برنامج أكسل قام بتطوير دالة خاصة بحساب المنوال بطريقة بسيطة وسريعة جدا.
والتعبير الرياضي للمنوال هو المنوال= القيم المتكررة في السؤال.
طريقة استخراج المنوال: أولا يجب إعادة كتابة الأعداد المعطاة بالسؤال بالتسلسل من الصغير إلى الكبير، أي بشكل تصاعدي. ثم نقوم بإيجاد الأعداد المتكررة أكثر من مرة، والعدد الذي يكون مكرر هو المنوال.
الأمثلة:
المثال الأول: جد قيمة المنوال في السؤال الآتي الأعداد هي (7، 9، 3، 8، 5، 2، 5، 1) نعيد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر( 1، 2، 3، 5، 5، 7، 8، 9) العدد المتكرر في هذه مجموعة الأعداد هو 5 إذا المنوال =5
المثال الثاني: جد قيمة المنوال في السؤال الآتي (11، 16، 12، 13، 18، 11، 16) نعيد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر (11، 11، 12، 13، 16، 16، 18) الإعداد المتكررة في مجموعة الأعداد هي 11، 16 إذا المنوال=11، 16
ملاحظة/ لوجد عددين متكررين في المسألة في هذه الحالة سوف يطلق عليه المنوال الثنائي.
المثال الثالث: جد قيمة المنوال في السؤال الآتي (200، 800، 300، 500، 200، 800) نعيد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر( 200، 200، 300، 500، 800، 800) الإعداد المتكررة في مجموعة الأعداد هي 200، 800 إذا المنوال هو 200، 800
الوسيط

الوسيط هو أيضا أحد مقاييس النزعة المركزية، يتم استخدامه في تحليل البيانات الإحصائية وفهم دلالاتها، وأيضا لحساب متوسط رواتب العاملين في الشركة، وحساب متوسط دخل الفرد داخل الدولة. والمقصود به هو القيمة العددية الوسطى يتم استخراجها بعد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو بالعكس، والقيمة التي تقع في وسط الأعداد هي الوسيط.
الطريقة التي يستخرج من خلالها الوسيط تختلف بحسب اختلاف الأعداد المعطاة في السؤال، حيث يختلف وسيط القيم الزوجية عن وسيط القيم الفردية.
استخراج الوسيط من القيم الفردية: أولا نقوم بإعادة كتابة الأعداد المعطاة في السؤال من الأصغر إلى الأكبر، أو بالعكس، ويكون الوسيط هو العدد الذي يقع في وسط مجموعة الأعداد أي أن تكون القيم المتوسطة بين قيمة أكبر منها وقيمة أصغر منها.
الأمثلة:
المثال الأول: جد قيمة الوسيط من الأعداد الآتية (8، 7، 9، 11، 19) نعيد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو من الأكبر إلى الأصغر( 7، 8، 9، 11، 19)العدد الذي يقع في الوسط هو 9 إذن الوسيط=9 لاحظ أن رقم تسعة يأتي قبله رقم أصغر منه، ويأتي بعده رقم أكبر منه.
المثال الثاني: جد قيمة الوسيط من الأعداد الآتية (11، 16، 12، 13، 18، 16) نعيد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو من الأكبر إلى الأصغر(11، 12، 13، 16، 16، 18 )العدد الذي يقع في الوسط هو 13 إذن المنوال =13
استخراج الوسيط من القيم الزوجية: الوسيط عبارة عن مجموع العددين الوسطين مقسوما على 2، يعني ذلك أنه الوسط الحسابي للعددين الذين في الوسط.
الأمثلة:
المثال الأول: جد قيمة الوسيط من القيم الآتية (200، 800، 300، 500، 200، 800) نقوم بترتيب الإعداد من الأصغر إلى الأكبر أو بالعكس (200، 200، 300، 500، 800، 800) لاحظ أن هناك قيمتين في الوسط 300، 500 نقوم بجمع هذين القيمتين ثم نقوم بتقسيمهم على اثنان 300+500=800 800/2=400 إذا الوسيط=400
المثال الثاني: جد قيمة الوسيط من الأعداد الآتية (7، 9، 3، 8، 5، 2، 5، 1) نقوم بترتيب الإعداد من الأصغر إلى الأكبر أو بالعكس (200، 200، 300، 500، 800، 800) لاحظ أن هناك قيمتين في الوسط 300، 500 نقوم بجمع هذين القيمتين ثم نقوم بتقسيمهم على اثنان 300+500=800 800/2=400 إذا الوسيط=400
المثال الثاني: جد قيمة الوسيط من الأعداد الآتية (7، 9، 3، 8، 5، 2، 5، 1) نقوم بترتيب الإعداد من الأصغر إلى الأكبر أو بالعكس (1، 2، 3، 5، 5، 7، 8، 9) لاحظ أن هناك قيمتين في الوسط 5، 5 نقوم بجمع هذين القيمتين بعدها نقوم بتقسيمهم على اثنان 5+5=10 10/2=5 إذا الوسيط =5
المدى

المدى هو فرق بين القيمة الكبرى والقيمة الصغرى، حيث يتأثر المدى فقط في هذين القيمتين ولا يتأخر في القيمة الأخرى بالسؤال، يعتبر المدى هو أسهل مقياس للنزعة المركزية، يتميز المدى بسهولة حسابه، ولا يهتم بالتوزيع التكراري مثل باقي قيم النزعة المركزية.
يتم استخدام المدى في قياس درجة الحرارة، ولحساب معدلات النتائج. من الجدير بالذكر أن إذا ظهرت قيمة المدى عددا كبيرا فإن القيم في السلسلة تكون متباعدة ومتششتة عن بعضها، وعلى العكس. إذا ظهرت قيمة المدى صغيرة تكون السلاسل متباعدة.
طريقة استخراج المدى: أولا يجب أن نقوم بإعادة ترتيب الأعداد من الأكبر ثم نقوم بطرح القيمة الكبرى من القيمة الصغرى وناتج الطرح تكون هي قيمة المدى.
الأمثلة:
المثال الأول: جد قيمة المدى من القيم الآتية (200، 800، 300، 500، 200، 800) نقوم بترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر (200، 200، 300، 500، 800، 800) نطرح القيمة الكبرى من القيمة الصغرى 800-200=600 إذا المدى= 600
المثال الثاني: جد قيمة المدى من القيم الآتية (11، 16، 12، 13، 18، 16) نقوم بترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر (11، 12، 13، 16، 16، 18) نطرح القيمة الكبرى من القيمة الصغرى 18-11=7 إذا المدى =7
المثال الثالث: جد قيمة المدى من القيم الآتية (8، 7، 9، 11، 19) نقوم بترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر 7، 8، 9، 11، 19 نطرح القيمة الكبرى من القيمة الصغرى 19- 8=11 إذا المدى =11


م/ن